Тригонометрическая окружность. Подробная теория с примерами

Решение:

1) Так как 7π = 3٠2π + π , то при повороте на 7π получается та же самая точка, что и при повороте на π, т.е. получается точка с координатами (- 1; 0). (рис.9)

2) Так как = -2π - , то при повороте на получается та же самая точка, что и при повороте на - , т.е. получается точка с координатами (0; 1) (рис.10)

Рис.9 Рис.10

Задача № 2

Записать все углы, на которые нужно повернуть точку (1;0), чтобы получить точку

N
.

Решение:

Из прямоугольного треугольника АON (рис.11) следует, что угол AON равен , т.е. один из возможных углов поворота равен . Следовательно, все углы, на которые нужно повернуть точку (1;0), чтобы получить точку , выражаются так: + 2πk, где k – любое целое число.

Рис.11

Упражнения для самостоятельного решения:

1°. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки (1;0) на заданный угол:

а) 4π; б) - 225°; в) - ; г) -; д)
; е)
.

2°. Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р(1;0) на угол:

а) 3π; б) -
; в) 540°;

г) 810°; д)
, k – целое число; е)
.

3°. Определить четверть, в которой расположена точка, полученная поворотом точки Р(1;0) на угол:

а) 1; б) 2,75; в) 3,16; г) 4,95.

4*. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки Р(1;0) на угол:

а)
; б)
; в) 4,5π; г) - 7π.

5*. Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1;0) на угол (k – целое число):

а)
; б)
; в)
; г)
.

6*. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р (1;0), чтобы получить точку с координатами:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА УГЛА

Рис.12

В этих определениях угол α может выражаться как в градусах, так и в радианах. Например, при повороте точки (1;0) на угол , т.е. угол 90°, получается точка (0;1). Ордината точки (0 ;1 ) равна 1 , поэтому sin = sin 90° = 1; абсцисса этой точки, равна 0 , поэтому cos = cos 90° = 0

Задача №1

Найти sin (- π) и cos (- π).

Решение:

Точка (1;0) при повороте на угол – π перейдет в точку (-1; 0) (рис.13), следовательно, sin (- π) = 0, cos (- π) = - 1.

Рис.13

Задача №2

Решить уравнение sin x = 0.

Решение:

Решить уравнение sin x = 0 – это значит найти все углы, синус которых равен нулю. Ординату, равную нулю, имеют две точки единичной окружности (1;0 )и (- 1; 0 ). Эти точки получаются из точки (1;0) поворотом на углы 0, π, 2π, 3π и т.д., а также на углы - π, - 2π, - 3π и т.д.. следовательно, sin x = 0 при х = πk.,где k – любое целое число т.е. решение можно оформить так:

х = πk., k
.

Ответ: х = πk., k

(Z – обозначение множества целых чисел, читается «k принадлежит Z»).

Рассуждая аналогично можно получить следующие решения тригонометрических уравнений:

sin x

х = + 2πk, k

х = - +2πk., k

х = +2πk., k

х = 2πk., k

х = π + 2 πk., k

Приведем таблицу часто встречающихся значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Задача №1

Вычислить: 4sin +
cos - tg.

Решение:

Используя таблицу, получаем

4 sin + cos - tg = 4 ٠+ ٠ -1 = 2 + 1,5 = 2,5.

:

1°. Вычислить:

а) sin + sin ; б) sin - cos π; в) sin 0 - cos 2π; г) sin3 - cos .

2°. Найти значение выражения:

а) 3 sin + 2 cos - tg; б)
;

в)
; г) cos 0 – sin 3π.

3°. Решить уравнение:

а) 2 sin x = 0; б) cos x = 0; в) cos x - 1 = 0; г) 1 – sin x = 0.

4*. Найти значение выражения:

а) 2 sin α +
cos α при α = ; б) 0,5 cos α - sin α при α = 60°;

в) sin 3 α – cos 2 α при α = ; г) cos + sin при α = .

5*. Решить уравнение:

а) sin x = - 1; б) cos x = 0; в) sin
; г) sin3 x = 0.

Знаки синуса, косинуса и тангенса

Пусть точка движется по единичной окружности против часовой стрелки, тогда синус положителен в первой и второй координатных четвертях (рис.14); косинус положителен в первой и четвертой координатных четвертях (рис.15); тангенс и котангенс положителен в первой и третьей координатных четвертях (рис.16).

Рис.14 Рис15 Рис.16

Задача №1

Выяснить знаки синуса, косинуса и тангенса угла:

1) ; 2) 745°; 3)
.

Решение:

1) Углу соответствует точка единичной окружности, расположенная во второй четверти. Поэтому sin > 0, cos

2) Так как 745° = 2 ٠360° + 25° , то повороту точки (1;0) на угол 745° соответствует точка, расположенная в первой четверти.

Поэтому sin 745 ° > 0, cos 745° > 0, tg 745° > 0.

3) Точка движется по часовой стрелке, поэтому – π , то при повороте точки (1;0) на угол получается точка третьей четверти. Поэтому sin

Упражнения для самостоятельного решения :

1°. В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки Р(1;0) на угол α, если:

а) α = ; б) α = - ; в) α = ;Документ

Ее решением. Контрольная работа должна быть подписана студентом. Зачет по контрольной работе выставляется по результатам... на одной из шести одинаковых карточек . Карточки раскладываются в ряд в случайном порядке. Какова...

  • Карточки-тесты; карточки для зачета; g) карточки заданий повышенного уровня (текстовые задачи задания с параметром). Заключение

    Тесты

    Устной работы . карточки -тренажеры; карточки для математического диктанта; карточки -тесты; карточки для зачета ; g) карточки ... контролирующие, обобщающего, исследовательского характера, контрольные работы и зачеты . Материалы учитывают два уровня глубины...

  • Самостоятельная работа, являясь важнейшим средством образования, должна строиться на основе научной организации умственного труда, которая требует соблюдения следующих положений

    Памятка

    Классификация) изучаемой книги. Карточки можно использовать стандартные или... студенты, сдавшие все зачеты и (или) контрольные работы , предусмотренные учебным планом, ... зачетная книжка или копия учебной карточки студента, а к заявлению о восстановлении...

  • Методические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения Специальности все

    Методические указания

    В контрольной работе . 3. Методические указания к выполнению контрольной работы Контрольная работа является важным этапом подготовки к сдаче зачета по... в таблицу 2 – о трех подразделениях. Создать форму «Карточка учета» для ввода данных в таблицу...

    • Координаты x лежащих на окружности точек равны cos(θ), а координаты y соответствуют sin(θ), где θ - величина угла.

    • Если вам сложно запомнить данное правило, просто помните, что в паре (cos; sin) "синус стоит на последнем месте".
    • Это правило можно вывести, если рассмотреть прямоугольные треугольники и определение данных тригонометрических функций (синус угла равен отношению длины противолежащего, а косинус - прилежащего катета к гипотенузе).

    Запишите координаты четырех точек на окружности. "Единичная окружность" - это такая окружность, радиус которой равен единице. Используйте это, чтобы определить координаты x и y в четырех точках пересечения координатных осей с окружностью. Выше мы обозначили эти точки для наглядности "востоком", "севером", "западом" и "югом", хотя они не имеют устоявшихся названий.

    • "Восток" соответствует точке с координатами (1; 0) .
    • "Север" соответствует точке с координатами (0; 1) .
    • "Запад" соответствует точке с координатами (-1; 0) .
    • "Юг" соответствует точке с координатами (0; -1) .
    • Это аналогично обычному графику, поэтому нет необходимости запоминать эти значения, достаточно помнить основной принцип.

  • Запомните координаты точек в первом квадранте. Первый квадрант расположен в верхней правой части круга, где координаты x и y принимают положительные значения. Это единственные координаты, которые необходимо запомнить:

    Проведите прямые линии и определите координаты точек их пересечения с окружностью. Если вы проведете от точек одного квадранта прямые горизонтальные и вертикальные линии, вторые точки пересечения этих линий с окружностью будут иметь координаты x и y с теми же абсолютными значениями, но другими знаками. Иными словами, можно провести горизонтальные и вертикальные линии от точек первого квадранта и подписать точки пересечения с окружностью теми же координатами, но при этом оставить слева место для правильного знака ("+" или "-").

  • Для определения знака координат используйте правила симметрии. Существует несколько способов определить, где следует поставить знак "-":

    • вспомните основные правила для обычных графиков. Ось x отрицательна слева и положительна справа. Ось y отрицательна снизу и положительна сверху;
    • начните с первого квадранта и проведите линии к другим точкам. Если линия пересечет ось y , координата x изменит свой знак. Если линия пересечет ось x , изменится знак у координаты y ;
    • запомните, что в первом квадранте положительны все функции, во втором квадранте положителен только синус, в третьем квадранте положителен лишь тангенс, и в четвертом квадранте положителен только косинус;
    • какой бы метод вы ни использовали, в первом квадранте должно получиться (+,+), во втором (-,+), в третьем (-,-) и в четвертом (+,-).

  • Проверьте, не ошиблись ли вы. Ниже приведен полный список координат "особых" точек (кроме четырех точек на координатных осях), если двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Помните, что для определения всех этих значений достаточно запомнить координаты точек лишь в первом квадранте:

    • первый квадрант: ( 3 2 , 1 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}} ); ( 2 2 , 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( 1 2 , 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}} );
    • второй квадрант: ( − 1 2 , 3 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}} ); ( − 2 2 , 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( − 3 2 , 1 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}} );
    • третий квадрант: ( − 3 2 , − 1 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}} ); ( − 2 2 , − 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( − 1 2 , − 3 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}} );
    • четвертый квадрант: ( 1 2 , − 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}} ); ( 2 2 , − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( 3 2 , − 1 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}} ).

    • Видеоурок «Определение синуса и косинуса на единичной окружности» представляет наглядный материал для урока по соответствующей теме. В ходе урока рассматриваются понятия синуса и косинуса для чисел, соответствующих точкам единичной окружности, описывается множество примеров, формирующих умение решать задания, где используется данная интерпретация понятий. Удобное и понятное иллюстрирований решений, подробно описанный ход рассуждений помогают быстрее достичь целей обучения, повысить эффективность урока.

    Видеоурок начинается с представления темы. В начале демонстрации дается определение синуса и косинуса числа. На экране демонстрируется единичная окружность с центром в начале координат, отмечаются точки пересечения единичной окружности с осями координат А, В, С, D. В рамке выделено определение, в котором указано, что если точке М, принадлежащей единичной окружности, соответствует некоторое число t, то абсцисса этой точки является косинусом числа t и обозначается cos t, ордината точки является синусом и обозначается sin t. Озвучивание определения сопровождается изображением на единичной окружности точки М, указанием ее абсциссы и ординаты. Представляется краткая запись с помощью обозначений, что для М(t)=M(x;y), х= cos t, у= sin t. Указываются ограничения, накладываемые на значение косинуса и синуса числа. Согласно рассмотренным данным, -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.

    Также по рисунку легко отследить, как изменяется знак функции в зависимости от того, в какой четверти располагается точка. На экране составляется таблица, в которой для каждой функции указывается ее знак в зависимости от четверти. Знак cos t - плюс в первой и четвертой четвертях и минус во второй и третьей четвертях. Знак sin t - плюс в первой и второй четвертях, минус в третьей и четвертой четвертях.

    Ученикам напоминается уравнение единичной окружности х 2 +у 2 =1. Отмечается, что после подстановки вместо координат соответствующих функций, получим cos 2 t+ sin 2 t=1 - основное тригонометрическое тождество. Пользуясь способом нахождения sin t и cos t с помощью единичной окружности, заполняется таблица основных значений синуса и косинуса для чисел от 0 до 2π с шагом π/4 и для чисел от π/6 до 11π/6 с шагом π/6. На экране демонстрируются эти таблицы. С помощью их и рисунка учитель может проверить, как усвоен материал и насколько ученикам понятно происхождение значений sin t и cos t.

    Рассматривается пример, в котором вычисляется sin t и cos t для t=41π/4. Решение иллюстрируется рисунком, на котором изображена единичная окружность с центром в начале координат. На ней отмечается точка 41π/4. Замечено, что данная точка совпадает с положением точки π/4. Это доказывается с помощью представления данной дроби в виде смешанной 41π/4=π/4+2π·5. Пользуясь таблицей значений косинуса, получаем значения cos π/4=√2/2 и sinπ/4=√2/2. Из полученных сведений следует, что cos 41π/4=√2/2 и sin 41π/4=√2/2.

    В втором примере необходимо вычислить sin t и cos t для t=-25π/3. На экране изображается единичная окружность с отмеченной на ней точкой t=-25π/3. Сначала для решения задания число -25π/3 представляется в виде смешанной дроби, чтобы обнаружить, какому табличному значению будет соответствовать его sin t и cos t. После преобразования получаем -25π/3=-π/3+2π·(-4). Очевидно, t=-25π/3 совпадет на окружности с точкой -π/3 или 5π/3. Из таблицы выбираем соответствующие значения синуса и косинуса cos 5π/3=1/2 и sin 5π/3=-√3/2. Эти значения будут верными и для рассматриваемого числа cos (-25π/3)=1/2 и sin (-25π/3)=-√3/2. Задача решена.

    Аналогично решается и пример 3, в котором необходимо вычислить sin t и cos t для t=37π. Чтобы решить пример, число 37π раскладывается, вычленяя π и 2π. В таком представлении получается 37π=π+2π·18. На единичной окружности, которая изображена рядом с решением, отмечается данная точка на пересечении отрицательной части оси ординат и единичной окружности - точка π. Очевидно, что значения синуса и косинуса числа совпадут с табличными значениями π. Из таблицы находим значения sin π=-1 и cos π=0. Соответственно, эти же значения являются искомыми, то есть sin 37π=-1 и cos 37π=0.

    В примере 4 требуется вычислить sin t и cos t при t=-12π. Представляем число в виде -12π=0+2π·(-6). Соответственно, точка -12π совпадает с точкой 0. Значения косинуса и синуса этой точки sin 0=1 и cos 0=0. Эти значения и являются искомыми sin (-12π)=1 и cos (-12π)=0.

    В пятом примере нужно решить уравнение sin t=√3/2. В решении уравнения используется понятие синуса числа. Так как он представляет ординату точки М(t), то необходимо отыскать точку с ординатой √3/2. На рисунке, сопровождающем решение, видно, что ординате √3/2 соответствуют две точки - первая π/3 и вторая 2π/3. Учитывая периодичность функции, отмечаем, что t=π/3+2πk и t= 2π/3+2πk для целого k.

    В примере 6 решается уравнение с косинусом - cos t=-1/2. В поиске решений уравнения находим на единичной окружности точки с абсциссой 2π/3. На экране демонстрируется рисунок, на котором отмечается абсцисса -1/2. Ей соответствуют две точки на окружности - 2π/3 и -2π/3. Учитывая периодичность функций, найденное решение записывается в виде t=2π/3+2πk и t=-2π/3+2πk, где k- целое число.

    В примере 7 решается уравнение sin t-1=0. Чтобы найти решение, уравнение преобразуется к виду sin t=1. Синусу 1 соответствует число π/2. Учитывая периодичность функции, найденное решение записывается в виде t=π/2+2πk, где k - целое. Аналогично в примере 8 решается уравнение cos t+1=0. Преобразуем уравнение к виду cos t=-1. Точка, абсцисса которой равна -1, соответствует числу π. Эта точка отмечена на единичной окружности, изображенной рядом с текстовым решением. Соответственно, решением данного уравнения является число t=π+2πk, где k - целое число. Не более сложным является решение уравнения cos t+1=1 в примере 9. Преобразовав уравнение, получаем cos t=0. На единичной окружности, изображенной рядом с решением, отмечаем точки -π/2 и -3π/2, в которых косинус принимает значение 0. Очевидно, решением данного уравнение будет ряд значений t=π/2+πk, где k - целое число.

    В примере 10 сравниваются значения sin 2 и cos 3. Чтобы решение было наглядным, демонстрируется рисунок, где отмечены точки 2 и 3. Зная, что π/2≈1,57, оцениваем удаленность точек от нее. На рисунке отмечается, что точка 2 удалена от π/2 на 0,43, в то время как 3 удалена на 1,43, поэтому точка 2 имеет большую абсциссу, чем точка 3. Это значит, что sin 2>cos 3.

    Пример 11 описывает вычисление выражения sin 5π/4. Так как 5π/4 - это π/4+π, то, используя формулы приведения, выражение можно преобразовать в вид - sin π/4. Из таблицы выбираем его значение - sin π/4=-√2/2. Аналогично в примере 12 находится значение выражения cos7π/6. Преобразуя его к виду cos(π/6+π), получаем выражение - cos π/6. Табличное значение - cos π/6=-√3/2. Это значение и будет решением.

    Далее предлагается запомнить важные равенства, которые помогают в решении задач - это sin(-t)= -sin t и cos (-t)=cos t. Фактически данное выражение отображает четность косинуса и нечетность синуса. На изображении единичной окружности рядом с равенствами можно увидеть, как на координатной плоскости работают данные равенства. Также представляются два равенства, отображающие периодичность функций, важные для решения задач sin(t+2πk)= sin t и cos (t+2πk)=cos t. Демонстрируются равенства, отображающие симметричное расположение точек на единичной окружности sin(t+π)= -sin t и cos (t+π)=-cos t. Рядом с равенствами строится изоражение, на котором отображается расположение этих точек на единичной окружности. И последние представленные равенства sin(t+π/2)= cos t и cos (t+π/2)=- sin t.

    Видеоурок «Определение синуса и косинуса на единичной окружности» рекомендуется применять на традиционном школьном уроке математик для повышения его эффективности, обеспечения наглядности объяснения учителя. С этой же целью материал может использоваться в ходе дистанционного обучения. Пособие также может быть полезно для формирования соответствующих навыков решения заданий у учеников при самостоятельном освоении материала.

    ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

    «Определение синуса и косинуса на единичной окружности».

    Дадим определение синуса и косинуса числа

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ: если точка М числовой единичной окружности соответствует числу t(тэ), то абсциссу точки М называют косинусом числа t(тэ) и обозначают cost, а ординату точки М называют синусом числа t(тэ) и обозначают sint(рис).

    Значит, если М(t) = М (x ,y)(эм от тэ равно эм с координатами икс и игрек), то x = cost, y= sint (икс равен косинус тэ, игрек равен синус тэ).Следовательно, -1≤ cost ≤ 1, -1≤ sint ≤1(косинус тэ больше либо равно минус один, но меньше либо равно один; синус тэ больше либо равно минус один, но меньше либо равно один).Зная, что каждая точка числовой окружности имеет в системе xOy свои координаты, можно составить таблицу значении синуса и косинуса по четвертям окружности, где значение косинуса положительно в первой и четвертой четвертях и, соответственно, отрицательно во второй и третьей четвертях.

    Значение синуса положительно в первой и второй четвертях и, соответственно, отрицательно в третьей и четвертой четвертях. (показать на чертеже)

    Так как уравнение числовой окружности имеет вид х 2 + у 2 = 1(икс квадрат плюс игрек квадрат равно одному), то получаем равенство:

    (косинус квадрат тэ плюс синус квадрат тэ равно единице).

    Опираясь на таблицы, которые мы составляли при определении координат точек числовой окружности, составим таблицы для координат точек числовой окружности для значений cost и sint .

    Рассмотрим примеры.

    ПРИМЕР 1. Вычислить cos t и sin t, если t = (тэ равно сорок один пи на четыре).

    Решение. Числу t = соответствует та же точка числовой окружности, что и числу, так как = ∙π = (10 +) ∙π = + 2π ∙ 5(сорок один пи на четыре равно сумме пи на четыре и произведения два пи на пять). А для точки t = по таблице значение косинусов 1 имеем cos = и sin =. Следовательно,

    ПРИМЕР 2. Вычислить cos t и sin t, если t = (тэ равно минус двадцать пять пи на три).

    РЕШЕНИЕ: Числу t = соответствует та же точка числовой окружности, что и числу, так как = ∙ π = - (8 +)∙π = + 2π ∙ (- 4) (минус двадцать пять пи на три равно сумме минус пи на три и произведению двух пи на минус четыре). А числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу. А для точки t = по таблице 2 имеем cos = и sin = .Следовательно, cos () = и sin () =.

    ПРИМЕР 3. Вычислить cos t и sin t, если t = 37π; (тэ равно тридцать семь пи).

    РЕШЕНИЕ: 37π = 36π + π = π + 2π ∙ 18.Значит, числу 37π соответствует та же точка числовой окружности, что и числу π. А для точки t = π по таблице 1 имеем cos π = -1, sin π=0.Значит, cos37π = -1, sin37π=0.

    ПРИМЕР 4. Вычислить cos t и sin t, если t = -12π (равно минус двенадцать пи).

    РЕШЕНИЕ: - 12π = 0 + 2π ∙ (- 6), то есть числу - 12π соответствует та же точка числовой окружности, что и числу ноль. А для точки t = 0 по таблице 1 имеем cos 0 = 1, sin 0 =0.Значит, cos(-12π) =1, sin(-12π) =0.

    ПРИМЕР 5. Решить уравнение sin t = .

    Решение. Учитывая, что sin t - это ордината точки М(t) (эм от тэ) числовой окружности, найдем на числовой окружности точки с ординатой и запишем каким числам t они соответствуют. Одна точка соответствует числу, а значит, и любому числу вида + 2πk. Вторая точка соответствует числу, а значит, и любому числу вида + 2πk. Ответ: t = + 2πk,где kϵZ (ка принадлежит зэт),t = + 2πk,где kϵZ (ка принадлежит зэт).

    ПРИМЕР 6. Решить уравнение cos t = .

    Решение. Учитывая, что cos t - это абсцисса точки М(t) (эм от тэ) числовой окружности, найдем на числовой окружности точки с абсциссой и запишем каким числам t они соответствуют. Одна точка соответствует числу,а значит и любому числу вида + 2πk. А вторая точка соответствует числу или, а значит, и любому числу вида + 2πk или + 2πk.

    Ответ: t = + 2πk, t=+ 2πk (или ± + 2πk(плюс минус два пи на три плюс два пи ка) , где kϵZ (ка принадлежит зэт).

    ПРИМЕР 7.Решить уравнение cos t = .

    Решение. Аналогично предыдущему примеру, на числовой окружности нужно найти точки c абсциссой и записать, каким числам t они соответствуют.

    По рисунку видно, что абсциссу имеют две точки Е и S, а каким числам они соответствуют мы пока не сможем сказать. К этому вопросу вернемся позже.

    ПРИМЕР 8.Решить уравнение sin t = - 0,3.

    Решение. На числовой окружности найдем точки с ординатой - 0,3 и запишем, каким числам t они соответствуют.

    Ординату - 0,3 имеют две точки P и H, а каким числам они соответствуют мы пока не сможем сказать. К этому вопросу так же вернемся позже.

    ПРИМЕР 9.Решить уравнение sin t -1 =0

    Решение. Перенесем минус единицу в правую часть уравнения, получим синус тэ равно одному (sin t =1). На числовой окружности нам нужно найти точку, у которой ордината равна один. Эта точка соответствует числу, а значит всем числам вида + 2πk(пи на два плюс два пи ка).

    Ответ: t = + 2πk, kϵZ(ка принадлежит зэт).

    ПРИМЕР 10.Решить уравнение cos t + 1 = 0.

    Перенесем единицу в правую часть уравнения, получим косинус тэ равно минус один(cos t = - 1).Абсциссу минус один имеет точка числовой окружности, которая соответствует числу π, а это значит, и все числам вида π+2πk. Ответ: t = π+ 2πk, kϵZ.

    ПРИМЕР 11. Решить уравнение cos t + 1 = 1.

    Перенесем единицу в правую часть уравнения, получим косинус тэ равно нулю(cos t = 0).Абсциссу ноль имеют точки В и D (рис 1), которые соответствуют числам, и т. д. Эти числа можно записать так + πk. Ответ: t = + πk, kϵZ.

    ПРИМЕР 12. Какое из двух чисел больше, cos 2 или cos 3? (косинус двух или косинус трех)

    Решение. Переформулируем вопрос по-другому: на числовой окружности отмечены точки 2 и 3. У какой из них абсцисса больше?

    На числовой окружности отметим точки 2 и 3. Вспомним, что.Значит, точка 2 удалена от по окружности примерно на 0,43(нуль целых сорок три сотых) (2 -≈ 2 - 1,57 = 0,43), а точка 3 на 1,43 (одну целую сорок три сотых). Следовательно, точка 2 находится ближе к точке, чем точка 3, поэтому у нее абсцисса больше (мы учли, что абсциссы обе отрицательные).

    Ответ: cos 2 > cos 3.

    ПРИМЕР 13. Вычислить sin (синус пять пи на четыре)

    Решение. sin(+ π) = - sin = (синус пять пи на четыре равно сумме пи на четыре и пи равно минус синус пи на четыре равно минус корень из двух на два).

    ПРИМЕР 14. Вычислить cos (косинус семь пи на шесть).

    cos(+ π) = - cos =. (представили семь пи на шесть как сумму пи на шесть и пи и применили третье равенство).

    Для синуса и косинуса получим некоторые важные формулы.

    1. Для любого значения t справедливы равенства

    sin (-t) = -sin t

    cos (-t) = cos t

    Синус от минус тэ равно минус синус тэ

    Косинус от мину тэ равно косинусу тэ.

    По рисунку видно, что у точек Е и L, симметричных относительно оси абсцисс, одна и та же абсцисса, это значит

    cos(-t) = cost, но равны по модулю и противоположные по знаку ординаты (это значит sin(- t) = - sint.

    2. Для любого значения t справедливы равенства

    sin (t+2πk) = sin t

    cos (t+2πk) = cos t

    Синус от тэ плюс два пи ка равно синусу тэ

    Косинус от тэ плюс два пи ка равно косинусу тэ

    Это верно, так как числам t и t+2πk соответствует одна и та же точка.

    3. Для любого значения t справедливы равенства

    sin (t+π) = -sin t

    cos (t+π) = -cos t

    Синус от тэ плюс пи равно минус синусу тэ

    косинус от тэ плюс пи равно минус косинусу тэ

    Пусть числу t соответствует точка E числовой окружности, тогда числу t+π соответствует точка L, которая симметрична точке E относительно начала координат. По рисунку видно, что у этих точек абсциссы и ординаты равны по модулю и противоположны по знаку. Это значит,

    cos(t +π)= - cost;

    sin(t +π)= - sint.

    4. Для любого значения t справедливы равенства

    sin (t+) = cos t

    cos (t+) = -sin t

    Синус тэ плюс пи на два равно косинусу тэ

    Косинус тэ плюс пи на два равно минус синусу тэ.

    Урок и презентация на тему: "Числовая окружность на координатной плоскости"

    Дополнительные материалы
    Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

    Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
    Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
    Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов

    Что будем изучать:
    1. Определение.
    2. Важные координаты числовой окружности.
    3. Как искать координату числовой окружности?
    4. Таблица основных координат числовой окружности.
    5. Примеры решения задач.

    Определение числовой окружности на координатной плоскости

    Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок. Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0).

    Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты х и у, причем:
    1) при $x > 0$, $у > 0$ - в первой четверти;
    2) при $х 0$ - во второй четверти;
    3) при $х 4) при $х > 0$, $у
    Для любой точки $М(х; у)$ числовой окружности выполняются неравенства: $-1
    Запомните уравнение числовой окружности: $x^2 + y^2 = 1$.

    Нам важно научиться находить координаты точек числовой окружности, представленных на рисунке.

    Найдем координату точки $\frac{π}{4}$

    Точка $М(\frac{π}{4})$ - середина первой четверти. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую ОА и рассмотрим треугольник OMP.Так как дуга АМ составляет половину дуги АВ, то $∠MOP=45°$.
    Значит, треугольник OMP - равнобедренный прямоугольный треугольник и $OP=MP$, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: $x = y$.
    Так как координаты точки $M(х;y)$ удовлетворяют уравнению числовой окружности, то для их нахождения нужно решить систему уравнений:
    $\begin {cases} x^2 + y^2 = 1, \\ x = y. \end {cases}$
    Решив данную систему, получаем: $y = x =\frac{\sqrt{2}}{2}$.
    Значит, координаты точки M, соответствующей числу $\frac{π}{4}$, будут $M(\frac{π}{4})=M(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$.
    Аналогичным образом рассчитываются координаты точек, представленных на предыдущем рисунке.

    Координаты точек числовой окружности



    Рассмотрим примеры

    Пример 1.
    Найти координату точки числовой окружности: $Р(45\frac{π}{4})$.

    Решение:
    $45\frac{π}{4} = (10 + \frac{5}{4}) * π = 10π +5\frac{π}{4} = 5\frac{π}{4} + 2π*5$.
    Значит, числу $45\frac{π}{4}$ соответствует та же точка числовой окружности, что и числу $\frac{5π}{4}$. Посмотрев значение точки $\frac{5π}{4}$ в таблице, получаем: $P(\frac{45π}{4})=P(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})$.

    Пример 2.
    Найти координату точки числовой окружности: $Р(-\frac{37π}{3})$.

    Решение:

    Т.к. числам $t$ и $t+2π*k$, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то:
    $-\frac{37π}{3} = -(12 + \frac{1}{3})*π = -12π –\frac{π}{3} = -\frac{π}{3} + 2π*(-6)$.
    Значит, числу $-\frac{37π}{3}$ соответствует та же точка числовой окружности, что и числу $–\frac{π}{3}$, а числу –$\frac{π}{3}$ соответствует та же точка, что и $\frac{5π}{3}$. Посмотрев значение точки $\frac{5π}{3}$ в таблице, получаем:
    $P(-\frac{37π}{3})=P(\frac{{1}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

    Пример 3.
    Найти на числовой окружности точки с ординатой $у =\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют?

    Решение:
    Прямая $у =\frac{1}{2}$ пересекает числовую окружность в точках М и Р. Точка М соответствует числу $\frac{π}{6}$ (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида: $\frac{π}{6}+2π*k$. Точка Р соответствует числу $\frac{5π}{6}$, а значит, и любому числу вида $\frac{5π}{6} +2 π*k$.
    Получили, как часто говорят в таких случаях, две серии значений:
    $\frac{π}{6} +2 π*k$ и $\frac{5π}{6} +2π*k$.
    Ответ: $t=\frac{π}{6} +2 π*k$ и $t=\frac{5π}{6} +2π*k$.

    Пример 4.
    Найти на числовой окружности точки с абсциссой $x≥-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.

    Решение:

    Прямая $x =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ пересекает числовую окружность в точках М и Р. Неравенству $x≥-\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу $3\frac{π}{4}$ (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида $-\frac{3π}{4} +2π*k$. Точка Р соответствует числу $-\frac{3π}{4}$, а значит, и любому числу вида $-\frac{3π}{4} +2π*k$.

    Тогда получим $-\frac{3π}{4} +2 π*k ≤t≤\frac{3π}{4} +2πk$.

    Ответ: $-\frac{3π}{4} +2 π*k ≤t≤\frac{3π}{4} +2πk$.

    Задачи для самостоятельного решения

    1) Найти координату точки числовой окружности: $Р(\frac{61π}{6})$.
    2) Найти координату точки числовой окружности: $Р(-\frac{52π}{3})$.
    3) Найти на числовой окружности точки с ординатой $у = -\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
    4) Найти на числовой окружности точки с ординатой $у ≥ -\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
    5) Найти на числовой окружности точки с абсциссой $x≥-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.

    При изучении тригонометрии в школе каждый ученик сталкивается с весьма интересным понятием «числовая окружность». От умения школьного учителя объяснить, что это такое, и для чего она нужна, зависит, насколько хорошо ученик пойдём тригонометрию впоследствии. К сожалению, далеко не каждый учитель может доступно объяснить этот материал. В результате многие ученики путаются даже с тем, как отмечать точки на числовой окружности . Если вы дочитаете эту статью до конца, то научитесь делать это без проблем.

    Итак, приступим. Нарисуем окружность, радиус которой равен 1. Самую «правую» точку этой окружности обозначим буквой O :

    Поздравляю, вы только что нарисовали единичную окружность. Поскольку радиус этой окружности равен 1, то её длина равна .

    Каждому действительному числу можно поставить в соответствие длину траектории вдоль числовой окружности от точки O . За положительное направление принимается направление движения против часовой стрелки. За отрицательное – по часовой стрелке:

    Расположение точек на числовой окружности

    Как мы уже отмечали, длина числовой окружности (единичной окружности) равна . Где тогда будет располагаться на этой окружности число ? Очевидно, от точки O против часовой стрелки нужно пройти половину длины окружности, и мы окажемся в нужной точке. Обозначим её буквой B :

    Обратите внимание, что в ту же точку можно было бы попасть, пройдя полуокружность в отрицательном направлении. Тогда бы мы отложили на единичной окружности число . То есть числам и соответствует одна и та же точка.

    Причём этой же точке соответствуют также числа , , , и, вообще, бесконечное множество чисел, которые можно записать в виде , где , то есть принадлежит множеству целых чисел. Всё это потому, что из точки B можно совершить «кругосветное» путешествие в любую сторону (добавить или вычесть длину окружности ) и попасть в ту же самую точку. Получаем важный вывод, который нужно понять и запомнить.

    Каждому числу соответствует единственная точка на числовой окружности. Но каждой точке на числовой окружности соответствует бесконечно много чисел.

    Разобьем теперь верхнюю полуокружность числовой окружности на дуги равной длины точкой C . Легко видеть, что длина дуги OC равна . Отложим теперь от точки C дугу той же длины в направлении против часовой стрелки. В результате попадём в точку B . Результат вполне ожидаемый, поскольку . Отложим эту дугу в том же направлении ещё раз, но теперь уже от точки B . В результате попадём в точку D , которая будет уже соответствовать числу :

    Заметим опять, что эта точка соответствует не только числу , но и, например, числу , потому что в эту точку можно попасть, отложив от точки O четверть окружности в направлении движения часовой стрелки (в отрицательном направлении).

    И, вообще, отметим снова, что этой точке соответствует бесконечно много чисел, которые можно записать в виде . Но их также можно записать в виде . Или, если хотите, в виде . Все эти записи абсолютно равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

    Разобьём теперь дугу на OC пополам точкой M . Сообразите теперь, чему равна длина дуги OM ? Правильно, вдвое меньше дуги OC . То есть . Каким числам соответствует точка M на числовой окружности? Уверен, что теперь вы сообразите, что эти числа можно записать в виде .

    Но можно и иначе. Давайте в представленной формуле возьмём . Тогда получим, что . То есть эти числа можно записать в виде . Этот же результат можно было получить, используя числовую окружность. Как я уже говорил, оба записи равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

    Теперь вы легко можете привести пример чисел, которым соответствуют точки N , P и K на числовой окружности. Например, числам , и :

    Часто именно минимальные положительные числа и берут для обозначения соответствующих точек на числовой окружности. Хотя это совсем не обязательно, и точке N , как вы уже знаете, соответствует бесконечное множество других чисел. В том числе, например, число .

    Если разбить дугу OC на три равные дуги точками S и L , так что точка S будет лежать между точками O и L , то длина дуги OS будет равна , а длина дуги OL будет равна . Используя знания, которые вы получили в предыдущей части урока, вы без труда сообразите, как получились остальные точки на числовой окружности:

    Числа не кратные π на числовой окружности

    Зададимся теперь вопросом, где на числовой прямой отметить точку, соответствующую числу 1? Чтобы это сделать, надо от самой «правой» точки единичной окружности O отложить дугу, длина которой была бы равна 1. Указать место искомой точки мы можем лишь приблизительно. Поступим следующим образом.

    Похожие статьи